Question

5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，且滿足$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{FC}$，記$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，試以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為平面向量的一組基底．利用向量的有關(guān)知識解決下列問題；
（Ⅰ）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$來表示向量$\overrightarrow{DE}與\overrightarrow{BF}$；
（Ⅱ）若|AB|=3，|AD|=2，且|BF|=$\sqrt{3}$，求|$\overrightarrow{DE}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的線性運算，直接求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
∴${\overrightarrow{BF}^2}=（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}{）^2}={\overrightarrow{AD}^2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}^2}$，可得$cos∠BAD=\frac{1}{2}$
  即可求得求|$\overrightarrow{DE}$|²，從而求得|$\overrightarrow{DE}$|．

解答 解：（Ⅰ）∵在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{FC}$
∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$------------------（3分）
  $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\frac{1}{3}\overrightarrow a$------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
∴${\overrightarrow{BF}^2}=（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}{）^2}={\overrightarrow{AD}^2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}^2}$---------------------------（8分）
∵|AB|=3，|AD|=2，且$|{BF}|=\sqrt{3}$
∴$（\sqrt{3}{）^2}={2^2}-\frac{2}{3}×2×3×cos∠BAD+\frac{1}{9}×{3^2}$
∴$cos∠BAD=\frac{1}{2}$-----------------------------------------------------------------------------（10分）
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}=（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=${3}^{2}-3×2×cos∠BAD+\frac{1}{4}×{2}^{2}$
=9-6×$\frac{1}{2}$+1=7
∴$|{\overrightarrow{DE}}|=\sqrt{7}$--------------------------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．