Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（3-a）lnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求a的值；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：-5-f（x₁）＜f（x₂）＜-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）的值，求出a的值；
（2）根據(jù)x₁，x₂是方程f′（x）=0的根，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍，求出f（x₁）+f（x₂）的表達(dá)式，設(shè)h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+3-a}{x}$，∴f′（1）=4-2a，
由題意4-2a=-$\frac{1}{2}$，解得：a=$\frac{9}{4}$；
（2）證明：由題意，x₁，x₂為f′（x）=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4（3-a）＞0}\\{a＞0}\\{3-a＞0}\end{array}\right.$，∴2＜a＜3，
由x₁+x₂=a＞2，x₁x₂=3-a＜1，知x₁＜1＜x₂，
結(jié)合單調(diào)性有f（x₂）＜f（1）=$\frac{1}{2}$-a＜-$\frac{3}{2}$，
又f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）-a（x₁+x₂）+（3-a）lnx₁x₂=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），
設(shè)h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），
則h′（a）=-a-ln（3-a），
h″（a）=$\frac{a-2}{3-a}$＞0，故h′（a）在（2，3）遞增，又h′（2）=-2＜0，
a→3時(shí)，h′（a）→+∞，
∴?a₀∈（2，3），當(dāng)a∈（2，a₀）時(shí)，h（a）遞減，當(dāng)a∈（a₀，3）時(shí)，h（a）遞增，
∴h（a）_min=h（a₀）=-$\frac{1}{2}$${{a}_{0}}^{2}$+a₀-3+（3-a₀）•（-a₀）=$\frac{1}{2}$${{a}_{0}}^{2}$-2a₀-3＞-5，
∴?a∈（2，3），h（a）＞-5，
綜上，-5-f（x₁）＜f（x₂）＜-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．