Question

6．有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：
（1）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？
（2）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？

Answer 1

分析 （1）先選兩個(gè)元素作為一組再排列，恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）先分類，把四個(gè)小球先分成兩組，每組兩個(gè)小球，或者是把四個(gè)小球分成兩組，每組一個(gè)和三個(gè)，分完小組后再進(jìn)行排列，從4個(gè)盒中選兩個(gè)位置排列，得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分三步進(jìn)行分析：
第一步，從4個(gè)小球中取兩個(gè)小球，有C₄²種方法；
第二步，將取出的兩個(gè)小球放入一個(gè)盒內(nèi)，有C₄¹種方法；
第三步，在剩下的三個(gè)盒子中選兩個(gè)放剩下的兩個(gè)小球，有A₃²種方法；
由分步計(jì)數(shù)原理，共有C₄²•C₄¹•A₃²=144種放法．
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
第一類，一個(gè)盒子放3個(gè)小球，一個(gè)盒子放1個(gè)小球，兩個(gè)盒子不放小球有C₄¹•C₄³•C₃¹=48種方法；
第二類，有兩個(gè)盒子各放2個(gè)小球，另兩個(gè)盒子不放小球有C₄²•C₄²=36種方法；
由分類計(jì)數(shù)原理，共有48+36=84種放法．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化問題．