已知 a2+b2+c2=1，求證：（a+b+c）2≤3．
考點：不等式的證明
專題：證明題
分析：利用a2+b2+c2=1及重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，可求得2ab+2ac+2bc≤2，從而易證（a+b+c）2≤3．
解答： 證明：∵a2+b2≥2ab，
b2+c2≥2bc，
a2+c2≥2ac，
∴2ab+2ac+2bc≤2（a2+b2+c2）；
又a2+b2+c2=1，
∴2ab+2ac+2bc≤2，
∴（a2+b2+c2）+2ab+2ac+2bc≤3，
即（a+b+c）2≤3．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查重要不等式a2+b2≥2ab等的應(yīng)用，考查綜合法及推理論證的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，如果在該矩形內(nèi)隨機找一點P，那么使得△ABP與△CDP的面積都不小于1的概率為（　　）
A、
2
5
B、
4
5
C、
3
5
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值S=16，則輸入自然數(shù)n的最小值應(yīng)等于（　�。�
A、7B、8C、9D、10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且asinA+csinC-bsinB=
2
asinC，則cosB等于（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、-
2
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某商品原價200元，若連續(xù)兩次漲價10%后出售，則新售價為（　�。�
A、222元B、240元
C、242元D、484元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點Pn（n，Sn）都在偶函數(shù)f（x）=x2+bx的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=2n+an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1有相同的離心率且經(jīng)過點（2，-
3
）的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Mn}滿足條件：M1=S t1，當n≥2時，Mn=S tn-S tn-1，其中數(shù)列{tn}單調(diào)遞增，且tn∈N*．
（1）若an=n，
①試找出一組t1、t2、t3，使得M22=M1M3；
②證明：對于數(shù)列an=n，一定存在數(shù)列{tn}，使得數(shù)列{Mn}中的各數(shù)均為一個整數(shù)的平方；
（2）若an=2n-1，是否存在無窮數(shù)列{tn}，使得{Mn}為等比數(shù)列．若存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列{tn}；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（cos
x
2
，-1），
n
=（
3
sin
x
2
，cos2
x
2
），設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n
+
1
2
．
（1）若x∈[0，
π
2
]，f（x）=
3
3
，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosB≤2c-
3
b．求f（A）的取值范圍．

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