分析 (1)由題意點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)的拋物線,即可求得點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)因?yàn)镻在(1)中的拋物線上,設(shè)出P的坐標(biāo),求出PM的中點(diǎn)坐標(biāo),利用弦心距公式列式求出以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長(zhǎng),有弦長(zhǎng)為定值可求得定值a的值.
解答 解:(1)∵A(14,0),動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離比到直線x=-54的距離少 1,
∴點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)的拋物線,即點(diǎn)P的軌跡方程:y2=x(4分)
(2)由(1),點(diǎn)P的軌跡方程是y2=x;設(shè)P(y2,y),
∵M(jìn) (4,0),則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點(diǎn)T(y2+42,y2),以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長(zhǎng):L=2√(y2+42−4)2+(y2−0)2−(y2+42−a)2=2√(a−4)(y2−a)+y24(6分)
=2√(a−154)y2−a(a−4)(8分)
若a為常數(shù),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)y,L為定值的條件是a-154=0,即a=154時(shí),L=√152(11分)
∴存在定直線x=154,以PM為直徑的圓與直線x=154的相交弦長(zhǎng)為定值√152.(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線方程的求法,考查了直線與圓的關(guān)系,訓(xùn)練了利用弦心距求弦長(zhǎng),是有一定難度題目.
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文科考生 | 57 | 40 | 24 | 6 |
理科考生 | 123 | x | y | z |
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A. | (1,+∞) | B. | [1,+∞) | C. | (1,5)∪(5,+∞) | D. | [1,5)∪(5,+∞) |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | -1 | D. | -2 |
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A. | (12,1) | B. | (1,√2) | C. | (32,√3) | D. | (2,2) |
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