Question

14．已知$A（\frac{1}{4}，0）$，動點P到點A的距離比到直線x=-$\frac{5}{4}$的距離少 1；
（1）求點P的軌跡方程；
（2）已知M（4，0），是否存在定直線x=a，以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長為定值，若存在，求出定直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意點P的軌跡是以A為焦點的拋物線，即可求得點P的軌跡方程；
（2）因為P在（1）中的拋物線上，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出PM的中點坐標(biāo)，利用弦心距公式列式求出以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長，有弦長為定值可求得定值a的值．

解答 解：（1）∵$A（\frac{1}{4}，0）$，動點P到點A的距離比到直線x=-$\frac{5}{4}$的距離少 1，
∴點P的軌跡是以A為焦點的拋物線，即點P的軌跡方程：y²=x（4分）
（2）由（1），點P的軌跡方程是y²=x；設(shè)P（y²，y），
∵M(jìn) （4，0），則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T（$\frac{{{y^2}+4}}{2}$，$\frac{y}{2}$），以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長：L=2$\sqrt{{{（\frac{{{y^2}+4}}{2}-4）}^2}+{{（\frac{y}{2}-0）}^2}-{{（\frac{{{y^2}+4}}{2}-a）}^2}}$=2$\sqrt{（a-4）（{y^2}-a）+\frac{y^2}{4}}$（6分）
=2$\sqrt{（a-\frac{15}{4}）{y^2}-a（a-4）}$（8分）
若a為常數(shù)，則對于任意實數(shù)y，L為定值的條件是a-$\frac{15}{4}$=0，即a=$\frac{15}{4}$時，L=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$（11分）
∴存在定直線x=$\frac{15}{4}$，以PM為直徑的圓與直線x=$\frac{15}{4}$的相交弦長為定值$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．（12分）

點評 本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與圓的關(guān)系，訓(xùn)練了利用弦心距求弦長，是有一定難度題目．