【題目】如圖，在四面體中， 平面， ， ，

為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（Ⅲ）求四面體的外接球的表面積.

（注：如果一個多面體的頂點(diǎn)都在球面上，那么常把該球稱為多面體的外接球. 球的表面積）

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）易證平面，進(jìn)而得；

（Ⅱ）以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個法向量為和平面的一個法向量為，利用法向量求二面角即可；

（Ⅲ）取的中點(diǎn)為，由線段長相等即可證得為四面體的外接球的球心，進(jìn)而可求球的表面積.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以.

又因?yàn)?/span>， ，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（Ⅱ）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為， 的中點(diǎn)為，連接， ，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面，由，且，可得， ， 兩兩垂直，所以分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，/p>

則， ， ， ， .

所以， ， .

設(shè)平面的一個法向量為，

由， ，得

令，得.

設(shè)平面的一個法向量為，

由， ，得

令，得.

所以.

由圖可知，二面角的余弦值為.

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ），記的中點(diǎn)為，

由題意， 為直角三角形，斜邊，

所以.

由（Ⅰ），得平面，

所以.

在直角中， 為斜邊的中點(diǎn)，

所以.

所以為四面體的外接球的球心，

故四面體的外接球的表面積. .

練習(xí)冊系列答案
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【題目】根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表：

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（1）請由頻率分布直方圖來估計(jì)這30天API 的平均值；

（2）若從獲得的“空氣質(zhì)量優(yōu)”和“空氣質(zhì)量中重度污染” 的數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)查，求“空氣質(zhì)量優(yōu)”和“空氣質(zhì)量中重度污染”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；

（3）假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API （記為）的關(guān)系式為，

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(2)線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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