Question

已知，點(diǎn)依次滿足。

(1)求點(diǎn)的軌跡；

(2)過點(diǎn)作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，且直線與點(diǎn)的軌跡相切，求該橢圓的方程；

(3)在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在橢圓上的點(diǎn)及以為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

(1) 以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓， (2) （3）存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為或.

【解析】

試題分析：(1)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，分四步.第一步，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)第二步建立等量關(guān)系： 第三步化簡(jiǎn)等量關(guān)系： 第四步，去雜.求軌跡，不僅求出軌跡方程，而且說明軌跡形狀.(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法. 設(shè)直線的方程為橢圓的方程由與圓相切得：由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組得：所以，∴（3）存在性問題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，列等量關(guān)系，將存在性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解問題. 假設(shè)，： ： ,

又，解得： 或 （舍）.

解析：(1) 設(shè)

所以，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓. 4分

(2)設(shè)直線的方程為 ①

橢圓的方程 ②

由與圓相切得： 6分

將①代入②得：，

又，可得，

有，∴，.

∴ 9分

(3) 假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)，使得直線與以Q為圓心的圓相切，

則Q到直線的距離相等,

：

：

12分

化簡(jiǎn)整理得：

∵ 點(diǎn)在橢圓上，∴

解得： 或 （舍）

時(shí)，，， 15分

∴ 橢圓上存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，使得直線與以Q為圓心的圓相切 16分

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，直線與橢圓位置關(guān)系