Question

【題目】已知圓及點(diǎn)．

（Ⅰ）若線段的垂直平分線交圓于兩點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并給與證明；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）菱形，證明見解析；（Ⅱ）或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先根據(jù)條件求出、的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合可得四邊形為菱形；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可直接求出的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，首先設(shè)直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式與弦長公式求得的面積的表面式，再利用基本不等式可求得面積的最大值，從而求得直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）四邊形為菱形

證明如下：

的中點(diǎn)為，設(shè)，,

設(shè)的垂直平分線為，代入圓得

，∴的中點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，

又，∴四邊形為菱形．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，則的坐標(biāo)為，，

所以．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為,

則圓心到直線的距離為

由平面幾何知識(shí)得

∴

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．

，所以的最大值為，

此時(shí)，由，解得或，

此時(shí)直線的方程為或．