Question

設函數f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函數f（x）在x=1處與直線相切
①求實數a，b的值；
②求函數上的最大值．
（2）當b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①先求出原函數的導數：，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a，b的方程求得a，b的值．②研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值．
（2）考慮到當b=0時，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x對所有的都成立，轉化為alnx≥m+x對所有的恒成立問題，再令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數，問題又轉化為m≤h（a）_min最后利用研究函數h（x）的單調性即得．
解答：解：（1）①
∵函數f（x）在x=1處與直線相切∴，
解得（3分）
②
當時，令f'（x）＞0得；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴上單調遞增，在[1，e]上單調遞減，∴（7分）（8分）
（2）當b=0時，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x對所有的都成立，
則alnx≥m+x對所有的都成立，
即m≤alnx-x，對所有的都成立，（8分）
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數，m≤h（a）_min∵x∈（1，e²]，∴l(xiāng)nx＞0，∴上單調遞增
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x對所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x≤e²，
∴-e²≤-x＜-1，∴m≤（-x）_min=-e²．（13分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．