Question

（2011•南通三模）已知函數(shù)f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，可得f'（1）=0，即可求得a的值；
（2）設(shè)f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

＞0，有ax²＞2-a，分類討論：a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1；0＜a＜2，可得f（x）在x=

2-a a

處取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

=ln（ax+1）+

2

1+x

-1，求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，∴

a

a+1

-

2

4

=0
∴a=1；
（2）設(shè)f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

＞0，有ax²＞2-a，
若a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，∴f（x）的最小值為f（0）=1；
若0＜a＜2，則x＞

2-a a

，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（

2-a a

，+∞）上遞增，在（-∞，

2-a a

）上遞減，
∴f（x）在x=

2-a a

處取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1．
綜上知，若f（x）最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．