Question

7．已知f（x）=lnx-ax
（1）討論f（x）單調(diào)性．
（2）若f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）的結(jié)論知，（1，2）是區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）的子集，求出a的取值范圍．

解答 解；（1）定義域為（0，+∞），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0得，x=$\frac{1}{a}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知（1，2）⊆（$\frac{1}{a}$，+∞）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≤1}\end{array}\right.$∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，運用了分類討論思想，屬于中檔題．