Question

如圖,底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,D、E、F分別是BC、CA、AA₁的中點,AA₁=AB=4.

(Ⅰ)求證:EF∥平面AB₁D;

(Ⅱ)求三棱錐B₁-AA₁D的體積.

Answer 1

 (Ⅰ)連接A₁B交AB₁于O,連接OD,在△BA₁C中,O為BA₁中點,D為BC中點,∴OD∥A₁C.  

又∵E、F分別為CA、AA₁的中點,∴EF∥A₁C,因此EF∥OD.

∵OD⊂平面AB₁D,EF⊄平面AB₁D,

∴EF∥平面AB₁D.                                                           

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,OD∥A₁C,∵OD⊂平面AB₁D,A₁C⊄平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D,∴點A₁到平面AB₁D的距離等于點C到平面AB₁D的距離,                                                                   

∵S_△ADC=S_△ABC=2 ,∴ =×4×2 .