Question

17．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，B為其左支上一點(diǎn)，線段BF與雙曲線的一條漸進(jìn)線相交于A，且$（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OA}=0$，$2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意，OA垂直平分BF，設(shè)F（c，0），B（m，n），運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的特點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和垂直的條件解得m，n，代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：由題意，OA垂直平分BF，
設(shè)F（c，0），B（m，n），
則$\frac{n-0}{m-c}=-\frac{a}$，且$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{a}$c+m），
解得m=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
將B代入雙曲線方程，$\frac{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，b²=c²-a²．
化簡(jiǎn)整理可得，c²=5a²，
∴e=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．