在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，如圖所示．

(1)求證：AC⊥BC1；

(2)求證：AC1∥平面CDB1；

(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

答案：
解析：

　　解法一：(1)證明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，

　　∴AC⊥BC．

　　∵BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，

　　∴AC⊥BC1．

　　(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE．

　　∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，

　　∴DE∥AC1．

　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

　　∴AC1∥平面CDB1．

　　(3)解：∵DE∥AC1，

　　∴∠CED為AC1與B1C所成的角．

　　在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，

　　CE＝CB1＝2．

　　∴cos∠CED＝

　　∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為

　　解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，

　　∴AC、BC、C1C兩兩垂直．

　　如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D(，2，0)．

　　(1)證明：∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，

　　∴·＝0．∴AC⊥BC1．

　　(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，則E(0，2，2)．

　　∵＝(－，0，2)，＝(－3，0，4)，

　　∴＝．∴DE∥AC1．

　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

　　∴AC1∥平面CDB1．

　　(3)解：∵＝(－3，0，4)，＝(0，4，4)，

　　∴cos＜＞

　　∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，F(xiàn)為BB1上一點(diǎn)，BF=BC=2，F(xiàn)B1=1，D為BC中點(diǎn)，E為線段AD上不同于點(diǎn)A、D的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF⊥FC1；
（Ⅱ）若AB=
2
，求DF與平面FA1C1所成的角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，斜邊AB=
2
a，側(cè)棱AA1=2a，點(diǎn)D是AA1的中點(diǎn)，那么截面DBC與底面ABC所成二面角的大小是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)．
（1）證明：A1B1⊥C1D；
（2）當(dāng)AM=
3
2
時(shí)，求二面角M-DE-A的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)．點(diǎn)F為
棱AB上的點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)時(shí)．
（1）求證：EF⊥AC1；
（2）求點(diǎn)B1到平面DEF的距離．
（Ⅱ）若二面角A-DF-E的大小為
π
4
，求
AF
FB
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=
3
，∠ABC=
π
3
．
（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的正弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案