Question

11．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}+2x+3}$的取值范圍是[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變成：（y-1）x²+（2y+3）x+3y-4=0，可將該式看成關(guān)于x的方程，方程有解，能夠看出需討論y=1和y≠1：y=1時，容易得出滿足方程有解，而y≠1時，從而有△≥0，這樣解該不等式即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：由原函數(shù)得，yx²+2yx+3y=x²-3x+4；
整理成關(guān)于x的方程：（y-1）x²+（2y+3）x+3y-4=0，方程有解；
①若y=1，則5x-1=0，滿足方程有解；
②若y≠1，則要使方程有解，則：
△=（2y+3）²-4（y-1）（3y-4）≥0；
解得，$\frac{10-\sqrt{110}}{4}≤y≤\frac{10+\sqrt{110}}{4}$，且y≠1；
∴原函數(shù)的值域為[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．
故答案為：[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，掌握本題將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，根據(jù)方程有解求函數(shù)值域的方法，一元二次方程有解時判別式△的取值情況．