Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+2x，x∈[t-1，t]．
（1）求f（x）的最大值g（t）的解析式；
（2）并畫出g（t）的圖象．

Answer 1

分析 （1）分析函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象和性質(zhì)，再分析區(qū)間[t-1，t]與對(duì)稱軸的關(guān)系，可得f（x）的最大值g（t）的解析式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，可畫出g（t）的圖象．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象是開口朝上，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)$\frac{t-1+t}{2}$＜-1，即t＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，x=t-1時(shí)，f（x）的最大值g（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
當(dāng)$\frac{t-1+t}{2}$≥-1，即t≥-$\frac{1}{2}$時(shí)，x=t時(shí)，f（x）的最大值g（t）=t²+2t，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-1，t＜-\frac{1}{2}\\{t}^{2}+2t，t≥-\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)g（t）的圖象如下圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．