Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A=

π

6

，c=

3

，b=1．
（Ⅰ）求a的長及B的大�。�
（Ⅱ）若0＜x≤B，求函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，得到a與b相等，根據(jù)等邊對等角得到A與B相等，進(jìn)而得到B的度數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的B的度數(shù)，得到x的范圍，把所求函數(shù)解析式的第1項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第2，3項提取

3

后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍，得出這個角的范圍，根據(jù)角度的范圍求出正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=4-2

3

cos

π

6

=1，
∴a=b=1，∴B=A=

π

6

；
（Ⅱ）因為f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
由（Ⅰ）知：0＜x≤

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

≤

2π

3

，∴

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域為[

3

2

，1]．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用余弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．