Question

18．定義在[-1，1]上的奇函數f（x）滿足f（1）=2，且當a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）判定函數f（x）在[-1，1]的單調性并加以證明；
（2）若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件先判斷函數的單調性，利用奇偶性和單調性的性質將不等式轉化f（x）_min≤t²-2at-1成立，構造函數g（a）即可得到結論．

解答 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
即a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）-f（-b）}{a-（-b）}$＞0．
設x₁=a，x₂=-b，則當x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0時，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
若x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，此時f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此時為增函數，
若x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，此時f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此時為增函數，
∴函數f（x）在[-1，1]上單調遞增．
（2）∵函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，f（1）=2，
∴f（x）的最小值為f（-1）=-f（1）=-2，最大值為f（1）=2，
若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²+2am+1≥$\frac{1}{2}×2$=1對所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥0對所有a∈[-1，1]恒成立，
設g（a）=m²+2am=2ma+m²，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥2或m≤-2或m=0．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用條件判斷函數的單調性是解決本題的關鍵，綜合考查函數的性質．