已知橢圓經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于,兩點,若線段的垂直平分線經(jīng)過點,求
(為原點)面積的最大值.
(1)(2) 面積的最大值為.
解析試題分析:(1)由已知得,再根據(jù)橢圓經(jīng)過點,代入橢圓方程即可.
(2)設(shè)
當(dāng)直線的斜率為時,可得,由,得到
;
當(dāng)直線的斜率不為時,將的方程為與橢圓方程聯(lián)立,
整理得,
由, 得到
應(yīng)用韋達(dá)定理,,化簡得到
代入,得到;
通過確定原點到直線的距離為,得到 求其最值.
試題解析:(1)∵橢圓的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成正方形,∴, ∴, 2分
又∵橢圓經(jīng)過點,代入可得,
∴故所求橢圓方程為 4分
(2)設(shè)因為的垂直平分線通過點, 顯然直線有斜率,
當(dāng)直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸,此時
所以,因為,所以
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值為, 7分
當(dāng)直線的斜率不為時,則設(shè)的方程為
所以,代入得到 8分
當(dāng), 即
方程有兩個不同的解又, 10分
所以,又,化簡得到
代入,得到  
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,點、、均在拋物線上.
(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時,求的值及直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓C0:=1(a>b>0,a、b為常數(shù)),動圓C1:x2+y2=,b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點,C1與C0相交于A、B、C、D四點.
(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;
(2)設(shè)動圓C2:x2+y2=與C0相交于A′,B′,C′,D′四點,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-1,1),P是動點,且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA.
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點,且=λ,直線OP與QA交于點M,問:是否存在點P,使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓C的方程為+y2=1,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的矩形的兩個頂點.
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點,若=m+n,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q.證明:以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知過曲線上任意一點作直線的垂線,垂足為,且.
⑴求曲線的方程;
⑵設(shè)、是曲線上兩個不同點,直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且為定值時,證明直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點F,左、右準(zhǔn)線分別為l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1、l2分別與直線y=x相交于A、B兩點.
(1)若離心率為,求橢圓的方程;
(2)當(dāng)·<7時,求橢圓離心率的取值范圍.
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