Question

已知：

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，且a+c；a-c，a+c-2b都為正數(shù)．求證：lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）也成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列推得b=

2ac

a+c

，然后求lg（a+c）+lg（a+c-2b），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)后得到lg（a+c）+lg（a+c-2b）=2lg（a-c）．由此說(shuō)明lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差數(shù)列．

解答： 證明：∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，
∴

1

a

+

1

c

=

2

b

，即b=

2ac

a+c

．
而lg（a+c）+lg（a+c-2b）=lg（a+c）（a+c-2b）
=lg[a²+2ac+c²-2b（a+c）]
=lg[a2+2ac+c2-2•

2ac

a+c

(a+c)]
=lg[a²-2ac+c²]=lg（a-c）²=2lg（a-c）．
∴l(xiāng)g（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差中項(xiàng)的概念，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．