Question

3．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值；
（Ⅱ）若$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用1的代換求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9；
（Ⅱ）根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合分類討論進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥9，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9，（5分）
（Ⅱ）∵對(duì) 于a，b∈（0，+∞），使$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9，（7分）
若x≥$\frac{1}{2}$，則不等式等價(jià)為2x-1-x-1≤9，解得：x≤11，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤11；
若-1＜x＜$\frac{1}{2}$，則不等式等價(jià)為-2x+1-x-1≤9，解得：x≤3，
∴-1＜x＜$\frac{1}{2}$，
若x≤-1，則不等式等價(jià)為-2x+1+x+1≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1
綜上-7≤x≤11．                                   （10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用基本不等式，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．