Question

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側(cè)面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1) 求證：C1B⊥平面ABC；

（2）設(shè) =?(0≤?≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角

的大小為30°，試求?的值.

 

 

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：(1)利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明線面垂直，需證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720213031297827/SYS201411172021457197346832_DA/SYS201411172021457197346832_DA.002.png">側(cè)面,側(cè)面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以， 3 分

故,所以,而平面. 5分

（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為

軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，,． 7分

所以,所以,

則．設(shè)平面的法向量為，

則由,得,即，

令，則是平面的一個(gè)法向量． 10分

側(cè)面,是平面的一個(gè)法向量，

.

兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以=1或（舍去）. 12分

考點(diǎn)：（1）證明直線與平面垂直；（2）利用空間向量解決二面角問(wèn)題.