Question

1．函數(shù)f（x）=2^2x-（m-1）2^x+2在x∈[0，2]只有一個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 令2^x=t，由x∈[0，2]可得t∈[1，4]，換元可得y=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，則g（t）=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]只有一個零點，分類討論滿足條件的m的取值，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：令2^x=t，由x∈[0，2]可得t∈[1，4]，
換元可得y=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，
令g（t）=t²-（m-1）t+2，t∈[1，4]，
若g（t）=t²-（m-1）t+2只有一個零點，
則△=（m-1）²-8=0，
解得：m=1-$2\sqrt{2}$，t=-$\sqrt{2}$（舍去），或m=1+$2\sqrt{2}$，t=$\sqrt{2}$，
若g（t）=t²-（m-1）t+2有兩個零點，
有一個在[1，4]上，則g（1）•g（4）≤0，
即（4-m）（22-4m）≤0，
解得：m∈[4，$\frac{11}{2}$]，
綜上所述：m∈[4，$\frac{11}{2}$]∪{1+2$\sqrt{2}$}

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)零點的判定定理，分類討論思想，難度中檔．