Question

16．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下面三個條件：
①對任意正數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
③f（2）=-1
（I）求f（1）和$f（\frac{1}{4}）$的值；
（II）試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（III）求滿足f（log₄x）＞2的x的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=b=1，代入計算即可求得f（1）=0；令a=b=2，求得f（4）=-2，令a=4，b=$\frac{1}{4}$，即可得到所求值；
（Ⅱ）運用單調(diào)性的定義證明，注意運用條件可得$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即有f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0；
（Ⅲ）f（log₄x）＞2即為f（log₄x）＞$f（\frac{1}{4}）$，由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，可得不等式組，解得即可得到所求集合．

解答 解：（Ⅰ）令a=b=1，可得2f（1）=f（1），
解得f（1）=0；
令a=b=2，可得2f（2）=f（4）=-2，
令a=4，b=$\frac{1}{4}$，可得f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）=0，
即有f（$\frac{1}{4}$）=-f（4）=2；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
可得$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即有f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
則f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅲ）f（log₄x）＞2即為
f（log₄x）＞$f（\frac{1}{4}）$，
由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
所以$\left\{\begin{array}{l}{log_4}x＜\frac{1}{4}\\{log_4}x＞0\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜\sqrt{2}}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得$1＜x＜\sqrt{2}$，
故不等式的解集為（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查抽象函數(shù)的運用，考查賦值法求函數(shù)值的方法和運用單調(diào)性的定義證明得到，同時考查解不等式，注意運用單調(diào)性和函數(shù)的定義域，屬于中檔題和易錯題．