Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的指數(shù)函數(shù)．
（Ⅰ）若f(2)=

1

4

，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x₀）=8，求f(

1

2

x0)的值；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的值域是（0，1]，且f（2x²-3x+1）≤f（x²+2x-5），求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，由f（2）=

1

4

，代入求出a的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)f(

1

2

x0)=a

1

2

x0=(ax0)

1

2

=8

1

2

=

8

=2

2

，從而得到答案；
（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式2x²-3x+1≥x²+2x-5，解出即可．

解答： 解：設(shè)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
（Ⅰ）因?yàn)?span id="jnlgz5h" class="MathJye">f(2)=

1

4

，
所以a2=

1

4

，所以a=

1

2

所以函數(shù)f（x）的解析式的解析式為f(x)=(

1

2

)x；
（Ⅱ）因?yàn)閒（x₀）=8，所以ax0=8，
所以f(

1

2

x0)=a

1

2

x0=(ax0)

1

2

=8

1

2

=

8

=2

2

；
（Ⅲ）因?yàn)閒（x）是指數(shù)函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上的值域是（0，1]，
所以0＜a＜1，
所以f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
又因?yàn)閒（2x²-3x+1）≤f（x²+2x-5），
所以2x²-3x+1≥x²+2x-5
所以x²-5x+6≥0
所以x≤2，或x≥3
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|x≤2，或x≥3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了考查了求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，是一道中檔題．