Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁+2x₁＜f（x₂）+2x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)f′（x），則切線斜率為f′（1），易求f（1），利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（2）易求f（x）的定義域是（0，+∞），解方程f′（x）=0可得x=

1

2

或x=

1

a

，按兩根

1

2

、

1

a

的大小對(duì)a分類討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，由題意知，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分a=0、a≠0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
因?yàn)閒′（1）=0，f（1）=-2，所以切線方程是y=-2；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x-1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

，
①當(dāng)a＞2時(shí)，令f′（x）＞0得，x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0得

1

a

＜x＜

1

2

，
②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f′（x）＞0得，x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得

1

2

＜x＜

1

a

，
④a＜0時(shí)，令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得x＞

1

2

，
所以當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，

1

2

）；
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，

1

a

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可，
而g′（x）=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

，
當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=

1

x

＞0，此時(shí)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時(shí)，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因?yàn)閤∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
則需要a＞0，
對(duì)于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8，
綜上，0≤a≤8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想．