已知函數(shù)f(x)=px-
p
x
-lnx
g(x)=lnx-
p
x
(1+
e2-2e
p2
)
,其中e=2.71828….
(1)若f(x)在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(2)若p∈(1,+∞),問(wèn)是否存在x0>0,使f(x0)≤g(x0)成立?若存在,求出符合條件的一個(gè)x0;否則,說(shuō)明理由.
分析:(1)對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x>0上恒成立即可.
(2)對(duì)于存在性問(wèn)題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在x0>0,使f(x0)≤g(x0)成立,問(wèn)題等價(jià)于:找一個(gè)x0>0使F(x)≤0成立,故只需滿(mǎn)足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.,再利用導(dǎo)數(shù)工具,求出F(x)min,若出現(xiàn)矛盾,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:由f(x)=px-
p
x
-lnx
,得f′(x)=p+
p
x2
-
1
x
=
(px2-x+p)
x2
 
 

(1)由題意得:f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立或f'(x)≤0在(0,+∞)恒成立
若f'(x)≤0恒成立,則px2-x+p≤0恒成立∴p≤{
x
x2+1
}min

x
x2+1
=
1
x+
1
x
∈(0,
1
2
]
∴p≤0滿(mǎn)足題意
若f'(x)≥0恒成立,則px2-x+p≥0恒成立∴p≥{
x
x2+1
}max=
1
2

綜合上述,p的取值范圍是(-∞,0]∪[
1
2
,+∞)
.                   …(6分)
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+
e2-2e
px
.則問(wèn)題等價(jià)于:找一個(gè)x0>0使F(x)≤0成立,故只需滿(mǎn)足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.
F′(x)=p-
2
x
-
e2-2e
px2
=
(px-e)(px-2+e)
px2
=
p
x2
(x-
e
p
)(x-
2-e
p
)
,
x>0,p>1,
e
p
2
p
>0,
2-e
p
<0

故當(dāng)0<x<
e
p
時(shí),F(xiàn)'(x)<0,F(xiàn)(x)遞減;當(dāng)x>
e
p
時(shí),F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)遞增.
于是,F(x)min=F(
e
p
)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4>0

與上述要求F(x)min≤0相矛盾,故不存在符合條件的x0.         …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線(xiàn)l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ,(x<1)
alnx
 ,(x≥1)
的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線(xiàn)的斜率是-5.
(1)試確定實(shí)數(shù)b,c的值,并求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值;
(2)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線(xiàn)y=f(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0),h(x)=
2(x-1)
x+1

(1)當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在其定義域范圍是增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)當(dāng)x>1時(shí),證明f(x)>h(x)成立;
(3)記函數(shù)f(x)與g(x)的圖象分別是C1、C2,C1、C2相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R作垂直于x軸的垂線(xiàn),與C1、C2分別交于M、N,問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使得曲線(xiàn)C1在M處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)C2在N處的切線(xiàn)平行?若存在,試求出R點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
tx
(x>0)
,過(guò)點(diǎn)P(1,0)作曲線(xiàn)y=f(x)的兩條切線(xiàn)PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N.
(1)當(dāng)t=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)|MN|=g(t),試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿(mǎn)足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,n≥2令an=
1
6
,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.
(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a>1)是否存在這樣的數(shù)列{an},使得f(an)=log3(
3
an+1)
,且a1=
1
a-1
?若存在,求出a滿(mǎn)足的條件;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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