Question

（2011•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點(diǎn)，且1是其中一個零點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出x=0是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令f′（0）=0，求出b的值．
（2）將b的值代入f（x），將x=1代入f（x）的解析式令其值為0，得到a，c的關(guān)系，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，得到函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，據(jù)函數(shù)的三個根，令

2a

3

＞1求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數(shù)f（x）的一個零點(diǎn)，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x1=0，x2=

2a

3

．
又∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個零點(diǎn)，
∴x2=

2a

3

＞1，
即a＞

3

2

．

點(diǎn)評：函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．