已知a＞0且a≠1，f(logax)=
a(x2-1)x(a2-1)
．
試判斷f（x）在定義域上是否為單調(diào)函數(shù)？若是，是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明結(jié)論．
分析：先通過換元法，等價轉(zhuǎn)化函數(shù)為f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)，用函數(shù)的單調(diào)性定義證明．
解答：解：是增函數(shù)．證明如下：
設(shè)t=logax，則x=at，
∴f(t)=
a
a2-1
•
a2t-1
at
，
即f(t)=
a
a2-1
(at-a-t)．
∴f(t)=
a
a2-1
(ax-a-x)．
∵f（x）的定義域為R，
設(shè)x1＜x2，則
f（x1）-f（x2）=
a
a2-1
[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=
a
a2-1
•
(ax1-ax2)(1+ax1ax2)
ax1•ax2
．
∵a＞0，a≠1，
∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．
若0＜a＜1，則ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．
此時
a
a2-1
＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
同理，若a＞1，則f（x1）＜f（x2）．
綜上所述，當(dāng)a＞0且a≠1時，f（x）在R上單調(diào)遞增．
點評：本題考查了函數(shù)的等價轉(zhuǎn)化以及分類討論思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增，q：設(shè)函數(shù)y=
2x-2a，(x≥2a)
2a，(x＜2a)
，函數(shù)y≥1恒成立，若p∧q為假，p∨q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•普陀區(qū)二模）已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時的k的取值范圍為
（-∞，-1）∪（0，1）
（-∞，-1）∪（0，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：普陀區(qū)二模 題型：解答題

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
1
1-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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