Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂且F₂恰為拋物線x=$\frac{1}{4}{y}^{2}$的焦點，設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標(biāo)，即可得到雙曲線C的值，利用拋物線與雙曲線的交點以及△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，結(jié)合雙曲線a、b、c關(guān)系求出a的值，然后求出雙曲線的方程．

解答 解：拋物線的焦點坐標(biāo)（1，0），所以雙曲線中，c=1，
因為雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若△AF₁F₂是以AF₁為底邊的等腰三角形，
由拋物線的定義可知，拋物線的準(zhǔn)線方程過雙曲線的左焦點，所以$\frac{^{2}}{a}$=2c，
c²=a²+b²=1，解得a=$\sqrt{2}$-1，
所以b²=2（$\sqrt{2}$-1），
所以雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{2}-2}=1$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．