Question

10．橢圓 $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1內(nèi)一點(diǎn)P（4，2），過點(diǎn)P的弦AB恰好被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為x+2y-8=0．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得4=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．將A，B坐標(biāo)代入橢圓方程，相減即可得到直線AB的斜率，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，4=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，
又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1．
∴兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0．
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{9}$+$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
解得k_AB=-$\frac{1}{2}$．
∴直線AB的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），化為x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．