Question

3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，2$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，3$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，3$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EA}$．設(shè)CF與AD交于p點(diǎn)，AD與BE交于Q點(diǎn)，BE與CF交于R點(diǎn)．
（1）求證：$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）若S_△AQB=k•S_△ABC，求k的值；
（3）求△PQR與原△ABC的面積之比．

Answer 1

分析 （1）由B，Q，E三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)t，使得$\overrightarrow{AQ}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AE}$=t$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{5}$（1-t）$\overrightarrow{AC}$．設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=r$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{AQ}$=r$（\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}）$=r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$\overrightarrow{AB}$．再利用平面向量基本定理即可得出．
（2）S_△AQB=$\frac{1}{2}AB•AQsin∠BAQ$，把（1）的結(jié)論代入進(jìn)而得出k．
（3）由（2）同理可得：$\overrightarrow{BR}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{9}{10}$$\overrightarrow{CF}$．S_△BCR=$\frac{1}{3}$S_△ABC．S_ACP=$\frac{3}{10}$S_△ABC．即可得出．

解答 （1）證明：∵B，Q，E三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)t，使得$\overrightarrow{AQ}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AE}$=t$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{5}$（1-t）$\overrightarrow{AC}$．
設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=r$\overrightarrow{AD}$，則$\overrightarrow{AQ}$=r$（\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}）$=r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$\overrightarrow{AB}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{3}{4}r}\\{\frac{3（1-t）}{5}=\frac{1}{4}r}\end{array}\right.$，解得r=$\frac{6}{7}$．
∴$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AD}$．
（2）解：S_△AQB=$\frac{1}{2}AB•AQsin∠BAQ$=$\frac{1}{2}×\frac{6}{7}AD$•AQ•sin∠BAQ
=$\frac{6}{7}$•S_△ABD=$\frac{6}{7}$×$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{14}$S_△ABC．
∴k=$\frac{3}{14}$．
（3）解：由（2）同理可得：$\overrightarrow{BR}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{9}{10}$$\overrightarrow{CF}$．
S_△BCR=$\frac{1}{3}$S_△ABC．S_ACP=$\frac{3}{10}$S_△ABC．
∴S_△PQR=$（1-\frac{3}{14}-\frac{1}{3}-\frac{3}{10}）$S_△ABC=$\frac{16}{105}$S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、三角形法則、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．