3．拋物線C：x2=2py（p＞0）的通徑為4，正三角形一個頂點是原點O，另外兩點A，B也在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求正三角形OAB邊長．

分析 （1）拋物線的通徑為2p=4，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）求出A的坐標(biāo)，即可得到OA的長．

解答 解：（1）∵拋物線的通徑為2p=4，∴p=2，
∴拋物線C的方程為x2=4y    （5分）
（2）∵△AOB為正三角形．由拋物線的幾何性質(zhì)知：OA，OB關(guān)于y軸對稱
∴設(shè)直線OA的方程為y=$\sqrt{3}x$，由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$得 x2=4$\sqrt{3}x$，（8分）
∴xA=4$\sqrt{3}$myA=12，（10分）
∴|OA|=8$\sqrt{3}$      （14分）

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．下列幾個命題：
①函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
②“$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={b^2}-4ac≤0\end{array}$”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③若函數(shù)y=Acos（ωx+ϕ）（A≠0）為奇函數(shù)，則ϕ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），則y=sinx+$\frac{2}{sinx}$的最小值為2$\sqrt{2}$．
其中正確的有②③．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．將函數(shù)y=sin（x-$\frac{5π}{6}$）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式是（　�。�
A．$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$B．$y=sin（2x-\frac{π}{6}）$C．$y=sin（{2x-\frac{3π}{2}}）$D．$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，6}定義運算A?B=（x|x=ab，a∈A，b∈B）則A?B中所含元素的個數(shù)為（　�。�
A．6B．7C．8D．9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C和拋物線y2=x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過橢圓C右焦點的直線l和橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{BP}$，其中O為坐標(biāo)原點，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．已知數(shù)列{an}中，a1=-$\frac{1}{4}$，an=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n＞1），則a2016的值為（　　）
A．-$\frac{1}{4}$B．5C．$\frac{4}{5}$D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．若復(fù)數(shù)$\frac{1-bi}{2+i}$（b∈R）的實部與虛部相等，則b的值為（　　）
A．-6B．-3C．3D．6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間（無需使用定義嚴(yán)格證明，但必須有一定的推理過程）；
（3）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)g（x）=f（x）+|x|在R上的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定義{x}=x-[x]，給出如下命題：
①使[x+1]=3成立的x的取值范圍是2≤x＜3；
②函數(shù)y={x}的定義域為R，值域為[0，1]；
③設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，則函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$的不同零點有3個．
④{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=1007．
其中正確命題的序號是①③④．（填上所有正確命題的序號）

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