Question

14．已知[x]表示不超過實數x的最大整數（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定義{x}=x-[x]，給出如下命題：
①使[x+1]=3成立的x的取值范圍是2≤x＜3；
②函數y={x}的定義域為R，值域為[0，1]；
③設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，則函數y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$的不同零點有3個．
④{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=1007．
其中正確命題的序號是①③④．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①由[x]表示不超過實數x的最大整數，即可判斷[x+1]=3的x的取值范圍；
②函數{x}的定義域為R，推出函數的最小正周期為1，再推出當0≤x＜1時，y={x}的值域，從而判斷②；
③分類討論，求出函數的零點，即可得出結論；
④推出n分別為偶數、奇數時，求出{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}，從而判斷④的正確性．

解答 解：①已知[x]表示不超過實數x的最大整數，由[x+1]=3得3≤x+1＜4即2≤x＜3，故①正確；
②函數{x}的定義域為R，又由{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，
當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，故函數{x}的值域為[0，1），故②錯誤；
③∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，∴0≤f（x）＜1；當0≤x＜1時，f（x）=x，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有零點x=$\frac{1}{3}$；當x≥1時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=1時有最大值$\frac{1}{2}$，且無最小值，∴函數y有一零點；當x＜0時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=0時有極小值-$\frac{1}{4}$，且無最大值，∴函數y有一零點；∴正確．
④當n為偶數時，{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}={2014^n-1-n•2014^n-2+…-n+$\frac{1}{2014}$}=$\frac{1}{2014}$，
當n為奇數時，{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}={2014^n-1-n•2014^n-2+…+n-$\frac{1}{2014}$}=1-$\frac{1}{2014}$，
故{{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）+（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）+…+（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）=1007，故正確．
故答案為①③④．

點評 本題是新定義題，考查函數的性質及應用，考查函數的定義域、值域以及函數的周期性，運用圖象相交的交點個數來確定函數的零點個數，對定義的準確理解是迅速解題的關鍵．