Question

已知圓C的圓心為C（m，0），m＜3，半徑為，圓C與橢圓E：有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4），試探究斜率為k的直線PF₁與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF₁的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可設(shè)圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5．由此能求出圓C的方程．
（2）直線PF₁能與圓C相切，設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，若直線PF₁與圓C相切，則．當(dāng)時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，由此能求出橢圓E的方程．
解答：解：（1）由已知可設(shè)圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3）
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5
即（3-m）²=4，解得m=1，或m=5
∵m＜3∴m=1
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=5．（6分）
（2）直線PF₁能與圓C相切
依題意設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直線PF₁與圓C相切，則
∴4k²-24k+11=0，解得
當(dāng)時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去
當(dāng)時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，
∴c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
∴由橢圓的定義得：
∴，即a²=18，∴b²=a²-c²=2
直線PF₁能與圓C相切，直線PF₁的方程為x-2y+4=0，橢圓E的方程為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．