Question

（2012•鄭州二模）已知圓C的圓心為C（m，0），m＜3，半徑為

5

，圓C與離心率e＞

1

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的其中一個(gè)公共點(diǎn)為A（3，l），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（I）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4），試探究直線PF₁與圓C能否相切？若能，設(shè)直線PF₁與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABF₂的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓C的方程，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，可求m，進(jìn)而可求圓的方程
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁的方程，由直線PF₁與圓C相切的性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求k，進(jìn)而求出橢圓的焦點(diǎn)，利用橢圓的定義得：2a=AF₁+AF₂求出a，結(jié)合e可求c，即可求出橢圓方程，直線PF₁的方程，聯(lián)立方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系代入S△ABF2=4|y₁-y₂|=4

(y1+y2)2-4y1y2

可求

解答：解：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3）
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5，
解得m=1或m=5．
∵m＜3，
∴m=1．
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=5．…（4分）
（Ⅱ）直線PF₁能與圓C相切，
依題意設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直線PF₁與圓C相切，則

|k-0-4k+4|

1+k2

=

5

．
∴4k²-24k+11=0，解得k=

1

2

或k=

11

2

．…（7分）
當(dāng)k=

11

2

時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

36

11

，不合題意，舍去．
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，
∴c=4，，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
∴由橢圓的定義得：2a=AF₁+AF₂=

(3+4)2+1

+

(3-4)2+1

=6

2

∴a=3

2

，即a²=18，
∴e=

4

3 2

=

2 2

3

＞

1

2

，
故直線PF₁能與圓C相切．…（10分）
直線PF₁的方程為x-2y+4=0，橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．
把直線方程代入橢圓方程并化簡得，13y²-16y-2=0．
故S△ABF2=4|y₁-y₂|=4

(y1+y2)2-4y1y2

=4

( 16 13 )2-4× -2 13

=

24 10

13

．…（12分）

點(diǎn)評：本題 主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用及橢圓定義的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，試題具有一定綜合性