Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，，E為CC₁的中點，AC∩BD=O．
（Ⅰ） 證明：OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）證明：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 證明OE∥AC₁，然后利用直線與平面平行的判定定理證明OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）連接A₁C₁，證明A₁C⊥AC₁，A₁C⊥OE，證明BD⊥平面A₁C，然后證明A₁C⊥平面BDE．
解答：解：（1）證明：因為EC₁=EC，AO=OC．所以O(shè)E∥AC₁．
因為AC₁?平面ABC₁，OE?平面ABC₁，所以O(shè)E∥平面ABC₁；
（Ⅱ）連接A₁C₁，因為AB=a所以A₁C₁=a．
所以四邊形ACC₁A₁為正方形，所以A₁C⊥AC₁，
因為OE∥AC₁．
所以A₁C⊥OE，
又因為BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面AA₁C，所以BD⊥A₁C，
又因為OE∩BD=O，所以A₁C⊥平面BDE．
點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，考查判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．