已知點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P到A的距離與到B的距離之比為2.
(1)求P點(diǎn)的軌跡E的方程;
(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線(xiàn)l:mx+(2m-1)y-5m+1=0被曲線(xiàn)E截得的弦最短.
【答案】
分析:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可知:|PA|=2|PB|,由兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得軌跡E的方程.
(2)要使得直線(xiàn)l被曲線(xiàn)E截得的弦最短,需
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達(dá)到最大,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)
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時(shí),d取得最大值.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可知:|PA|=2|PB|,則
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,
故P點(diǎn)的軌跡E的方程為:(x-5)
2+y
2=16.
(2)要使得直線(xiàn)l被曲線(xiàn)E截得的弦最短,必須圓心O
1(5,0)到直線(xiàn)l的距離最大,
此時(shí)
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達(dá)到最大,
令f(m)=5m
2-4m+1,則f(m)在
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時(shí),取得最小值
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,d取得最大值.
故當(dāng)
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時(shí),直線(xiàn)l被曲線(xiàn)E截得的弦最短,此時(shí)弦長(zhǎng)為
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.
點(diǎn)評(píng):本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,求得d的最大值是解題的關(guān)鍵.