Question

6．如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，5³=21+23+25+27+29，…觀察以上等式，若類(lèi)似上面各式方法將m³分拆得到的等式右邊最后一個(gè)數(shù)109，則正整數(shù)m等于10．

Answer 1

分析 可得規(guī)律：第n行的左邊是m³，右邊是m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第n行的最后一個(gè)數(shù)為a_n，累加可得a_n．

解答 解：由題意可得第n行的左邊是m³，右邊是m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，
設(shè)第n行的最后一個(gè)數(shù)為a_n，
則有a₂-a₁=11-5=6=2×（1+2）=1×2+4，
a₃-a₂=19-11=8=2×（2+2）=2×2+4，
a₄-a₃=29-19=10=2×（3+2）=3×2+4，
…
a_n-a_n-1=2（n-1+2）=（n-1）×2+4，
以上（n-1）個(gè)式子相加可得a_n-a₁=n²+3n-4
故a_n=n²+3n+1，
即n²+3n+1=109
解得n=9．
∴m=n+1=9+1=10
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類(lèi)比推理，涉及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．