Question

15．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x+4）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a，b∈Z，a＜b）內(nèi)，則b-a的最小值為10．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）在R上是增函數(shù)，且f（-1）＜0，f（0）=1；g（x）在R上是減函數(shù)，且g（1）＞0，g（2）＜0；從而求得．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
f′（0）=1，f′（1）=1，
當(dāng)x≠0且x≠1時，
f′（x）=$\frac{1-（-x）^{2015}}{1+x}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，且f（-1）＜0，f（0）=1；
同理可知g（x）在R上是減函數(shù)，且g（1）＞0，g（2）＜0；
∴對于函數(shù)F（x）=f（x+4）•g（x-3），
當(dāng)x≤-5時，f（x+4）＜0，g（x-3）＞0，
故F（x）＜0恒成立；
當(dāng)x≥5時，f（x+4）＞0，g（x-3）＜0，
故F（x）＜0恒成立；
故b-a的最小值為5-（-5）=10；
故答案為：10．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．