Question

已知函數(shù)，其中x＞0，常數(shù)a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞），上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最大值（其中e為無(wú)理數(shù)，約為2.71828），求a的值

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)f（x）′，然后根據(jù)f（x）在[1，+∞），上是單調(diào)函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)f（x）在[1，+∞），有f（x）′＞0，從而求解；
（2）由題意根據(jù)（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[1，+∞）有最大值，討論a的范圍，確定最值落在哪個(gè)區(qū)間，從而求出a的值．
解答：解：（1）∵
若對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，則對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，則對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，∴
∴當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時(shí)，
∴所求a的取值范圍為：；

（2）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，+∞）無(wú)最大值．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以由，得
當(dāng)時(shí)，由得ax²+x-1＞0，則α＜x＜β
（其中）
∴函數(shù)f（x）在[1，α]上單調(diào)遞減，在[α，β]上單調(diào)遞增，在[β，+∞]上單調(diào)遞減，
由，得，不符要求．
由，得，
又∵代入得
設(shè)函數(shù)，則
所以函數(shù)h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，而h（e）=0
∴β=e，所以∴時(shí)，
函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，要求學(xué)生掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難度比較大．