Question

已知函數(shù)，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定義域內(nèi)，f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由題意知
∵，x∈（0，1]
設(shè)t=∈[1，+∞），可求得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=定義域?yàn)閤∈[1，+∞）
（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x∈[1，+∞）
用定義證明f（x）的單調(diào)性如下：
設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，則f（x₁）-f（x₂）==，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．同理可證f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）的最小值為f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）==恒成立
∴等價(jià)于當(dāng)x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞在x∈[1，+∞）恒成立 又∈（0，1]
令g（x）==-2（）²-=-2（+）²+
即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范圍[0，+∞）．
分析：先利用換元法求其函數(shù)的解析式f（x）=，定義域?yàn)閤∈[1，+∞），
（Ⅰ）把a(bǔ)的值代入解析式中，化簡成“對(duì)號(hào)”函數(shù)的形式，可以直接利用結(jié)論：
，在單調(diào)遞減，可以求出最小值，也可以用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，然后求其最值即可．
（Ⅱ）先化簡不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化整式不等式ax²+x+2＞0恒成立，然后采用分離常數(shù)法求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．
點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)學(xué)生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．