Question

16．若x，y，z均為正實數(shù)，且x²+y²+z²=1，則$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得1-z²=x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號，則$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$≥$\frac{（1+z）^{2}}{z（1-{z}^{2}）}$=$\frac{1+z}{z（1-z）}$=$\frac{1}{3-（1+z）-\frac{2}{1+z}}$，運用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：x，y，z均為正實數(shù)，且x²+y²+z²=1，
可得1-z²=x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號，
則$\frac{{{{（z+1）}^2}}}{2xyz}$≥$\frac{（1+z）^{2}}{z（1-{z}^{2}）}$=$\frac{1+z}{z（1-z）}$=$\frac{1}{3-（1+z）-\frac{2}{1+z}}$≥$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)1+z=$\frac{2}{1+z}$，即z=$\sqrt{2}$-1，x=y=$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查最值的求法，注意運用消元法和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．