Question

1．某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18，（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下兩種方案：
方案1：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；
方案2：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩條河流都發(fā)生洪水時(shí)損失為60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元．
（Ⅰ）試求方案2中損失費(fèi)ξ（隨機(jī)變量）的分布列及期望；
（Ⅱ）試比較哪一種方案好．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在方案2中，記“甲河流發(fā)生洪水“為事件A，“乙河流發(fā)生洪水“為事件B，則P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中損失費(fèi)ξ（隨機(jī)變量）的分布列及期望．（Ⅱ）對(duì)方案1來(lái)說(shuō)，建圍墻需花費(fèi)1000元，它只能抵御一條河流的洪水，求出該方案中可能的花費(fèi)，從而得到方案1最好．

解答 解：（Ⅰ）在方案2中，記“甲河流發(fā)生洪水“為事件A，“乙河流發(fā)生洪水“為事件B，
則P（A）=0.25，P（B）=0.18，
∴有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為：
P（A$\overline{B}$+$\overline{A}$B）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=0.25×（1-0.18）+（1-0.25）×0.18=0.34，
兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P（AB）=0.25×0.18=0.045，
都不發(fā)生洪水的概率為P（$\overline{A}\overline{B}$）=（1-0.25）（1-0.18）=0.615，
設(shè)損失費(fèi)為隨同變量ξ，則ξ的分布列為：

ξ	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．
（Ⅱ）對(duì)方案1來(lái)說(shuō)，建圍墻需花費(fèi)1000元，它只能抵御一條河流的洪水，
但當(dāng)兩河流都有發(fā)生洪水時(shí)，損失約56000元，
而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為p=0.25×0.18=0.045，
∴該方案中可能的花費(fèi)為1000+56000×0.045=3520．
對(duì)于方案2，由（1）知損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為6100元，
比較知方案1最好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．