Question

1．已知f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）．
（1）f（$\frac{5π}{2}$）+f（$\frac{11π}{3}$）的值；
（2）若f（x）=$\frac{1}{4}$，求sin（$\frac{4π}{3}$-x）+4cos²（$\frac{2π}{3}$+x）的值；
（3）若x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式化簡所給的式子可得結(jié)果．
（2）由條件利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sin（$\frac{4π}{3}$-x）+4cos²（$\frac{2π}{3}$+x）的值．
（3）由x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），∴f（$\frac{5π}{2}$）+f（$\frac{11π}{3}$）=cos（$\frac{5π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+cos（$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{6}$ ）
=-sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
（2）若f（x）=$\frac{1}{4}$，則 cos（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，令x+$\frac{π}{6}$=θ，則x=θ-$\frac{π}{6}$，cosθ=$\frac{1}{4}$，
∴sin（$\frac{4π}{3}$-x）+4cos²（$\frac{2π}{3}$+x）=sin（$\frac{3π}{2}$-θ）+4cos²（$\frac{π}{2}$+θ）=-cosθ+4sin²θ
=-$\frac{1}{4}$+4（1-cos²θ）=-$\frac{1}{4}$+4（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{7}{2}$．
（3）若x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，則x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故f（x）的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．