Question

已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函數(shù)f（x）=•．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m對(duì)x∈[0，]都成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函數(shù)f（x）=•．
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=2sin（2x-）+1
∴≤2x-≤（k∈Z）
∴（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m對(duì)x∈[0，]都成立，即f（x）_min≥m成立
∵x∈[0，]，∴2x-∈
∴sin（2x-）∈
∴f（x）=2sin（2x-）+1∈[0，3]
∴m≤0
∴m的最大值為0．
分析：（Ⅰ）根據(jù)向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函數(shù)f（x）=•，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，從而可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m對(duì)x∈[0，]都成立，即f（x）_min≥m成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．