Question

函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上函數(shù)值均小于0，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當x＞0時，f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a；從而化恒成立問題為最值問題；
（2）假設存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；則分析題意知只需使f（0）=-0²+2×0+a≥0；從而解得．

解答： 解：（1）當x＞0時，f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+1+a；
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上函數(shù)值均小于0，
∴1+a＜0；
∴a＜-1；
（2）假設存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
∴f（x）在[-1，0）（0，1]上單調(diào)遞增；
故只需使f（0）=-0²+2×0+a≥0；
解得，a≥0．
故a的取值范圍為[0，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應用及分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應用，屬于中檔題．