Question

已知兩圓C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2．動(dòng)圓M與兩圓都相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的定義

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于動(dòng)圓與兩個(gè)定圓都相切，可分兩類考慮，若動(dòng)圓與兩定圓相外切或與兩定圓都內(nèi)切，可以得出動(dòng)圓與兩定圓圓心的距離相等，故動(dòng)圓圓心M的軌跡是一條直線，且是兩定圓圓心連線段的垂直平分線．若一內(nèi)切一外切，則到兩圓圓心的距離差是一個(gè)常數(shù)，由雙曲線的定義知，此種情況下軌跡是雙曲線．

解答： 解：由題意，①若兩定圓與動(dòng)圓相外切或都內(nèi)切，即兩圓C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，動(dòng)圓M與兩圓C₁，C₂都相切，
∴|MC₁|=|MC₂|，即M點(diǎn)在線段C₁，C₂的垂直平分線上
又C₁，C₂的坐標(biāo)分別為（-4，0）與（4，0）
∴其垂直平分線為y軸，
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x=0；
②若一內(nèi)切一外切，不妨令與圓C₁：（x+4）²+y²=2內(nèi)切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2外切，則M到C₂的距離減去M到C₂的距離的差是2

2

，由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以（-4，0）與（4，0）為焦點(diǎn)，以

2

為實(shí)半軸長(zhǎng)的雙曲線左支，故可得b²=c²-a²=14，故此雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

14

=1（x＜0）．
同理與圓C₁：（x+4）²+y²=2外切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2內(nèi)切，此雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

14

=1（x＞0）．
∴此雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

14

=1．
綜①②知，動(dòng)圓M的軌跡方程為

x2

2

-

y2

14

=1或x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，及垂直平分線的定義，考查雙曲線的定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．