Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球面的表面積為3π，且A₁C⊥平面BDC₁，
（1）求此四棱柱的體積；
（2）如圖，AC與BD交于點(diǎn)E，CB₁與C₁B交于點(diǎn)F，求平面BEF與平面CEF所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）以CD，CB，CC₁，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)根據(jù)條件可知正四棱柱為正方體，從而可求正方體的體積（2）由（1）可知：

CA1

為平面BEF的一個法向量，且

CA1

=(1，1，1)，同理可證

BD1

為平面CEF的一個法向量，且

BD1

=(1，-1，1)，從而可求平面BEF與平面CEF所成的銳二面角的大小

解答：解：（1）以CD，CB，CC₁，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=a，AA₁=b，則D（a，0，0），A（a，a，0），
B（0，a，0），C₁（0，0，b），A₁（a，a，b）------------------------------分2分
∴

DB

=(-a，a，0)，

DC1

=(-a，0，b)，

CA1

=(a，a，b)
由A₁C⊥平面BDC₁可得：

CA1

•

DB

=0即-a²+a²=0顯然成立，------4分
及

CA1

•

DC1

=0即-a²+b²=0，
可得：a=b即此正四棱柱為正方體------------6分
由外接球表面積為4πr²=3π，可得：r=

3

2

----------------------------------7分
∴

3

a=

3

求得正方體的棱長為1，∴正方體的體積為1；-----------------8分
（2）由（1）可知：

CA1

為平面BEF的一個法向量，且

CA1

=(1，1，1)----------------9分
同理可證

BD1

為平面CEF的一個法向量，且

BD1

=(1，-1，1)--------------------10分
∵cos?

CA1

，

BD1

＞=

CA1 • BD1

| CA1 |•| BD1 |

=

1-1+1

3 • 3

=

1

3

--------------------------13分
∴平面BEF與平面CEF所成的銳二面角的大小為arccos

1

3

---------------------14分

點(diǎn)評：本題以正四棱柱為載體，考查幾何體的體積，考查面面角，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用向量的方法解決．