【題目】如圖,已知三棱柱 ,側面 .
(Ⅰ)若 分別是 的中點,求證: ;
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱長均為2,側棱 與底面 所成的角為 ,問在線段 上是否存在一點 ,使得平面 ?若存在,求 與 的比值,若不存在,說明理由.
【答案】解:證明:(Ⅰ)連接AC1 , BC1 ,
則AC1∩A1C=N,AN=NC1 ,
因為AM=MB,所以MN∥BC1.
又BC1平面BCC1B1 ,
所以MN∥平面BCC1B1.
(Ⅱ)作B1O⊥BC于O點,連接AO,
因為平面BCC1B1⊥底面ABC,
所以B1O⊥平面ABC,
以O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0, ,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),B1(0,0, ).由 = = ,可求出A1(1, , ),C1(2,0, ),
設點P(x,y,z), =λ .
則P ,
= ,
=(-1,0, ).
設平面B1CP的法向量為n1=(x1 , y1 , z1),
由
得
令z1=1,解得n1= .
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2=( ,1,-1).
由平面B1CP⊥平面ACC1A1 ,
得n1·n2=0,即3+ -1=0,
解得λ=3,所以A1C
從而C1P∶PA1=2.
【解析】(1)連接AC1,利用三角形的中位線證明:MN∥BC1,然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可.
(2)假設在線段A1C1上存在點P,通過求出平面B1CP的法向量,求出平面ACC1A1的法向量,通過向量垂直的條件建立方程.即可得出結論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面的法向量(若向量所在直線垂直于平面,則稱這個向量垂直于平面,記作,如果,那么向量叫做平面的法向量).
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【題目】已知直線l的參數方程為 (t為參數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2.
(Ⅰ)證明:不論t為何值,直線l與曲線C恒有兩個公共點;
(Ⅱ)以α為參數,求直線l與曲線C相交所得弦AB的中點軌跡的參數方程,并判斷該軌跡的曲線類型.
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【題目】某市司法部門為了宣傳《憲法》舉辦法律知識問答活動,隨機對該市歲的人群抽取一個容量為的樣本,并將樣本數據分成五組:,,,,,再將其按從左到右的順序分別編號為第1組,第2組,…,第5組,繪制了樣本的頻率分布直方圖;并對回答問題情況進行統計后,結果如下表所示.
組號 | 分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數占本組的比例 |
第1組 | |||
第2組 | |||
第3組 | |||
第4組 | |||
第5組 |
(1)分別求出,的值;
(2)從第,,組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取人,則第,,組每組應各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,決定在所抽取的人中隨機抽取人頒發(fā)幸運獎,求:所抽取的人中第2組至少有人獲得幸運獎概率.
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【題目】已知函數f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果對于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求實數k的取值范圍;
(2)若x∈[﹣ , ],過點M( ,0)作函數f(x)的圖象的所有切線,令各切點的橫坐標按從小到大構成數列{xn},求數列{xn}的所有項之和.
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線 ,過點 的直線 ( 為參數)與曲線 相交于點 , 兩點.
(1)求曲線 的平面直角坐標系方程和直線 的普通方程;
(2)求 的值.
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【題目】如圖,四棱錐 中,底面 為梯形, 底面 , .過 作一個平面 使得 平面 .
(1)求平面 將四棱錐 分成兩部分幾何體的體積之比;
(2)若平面 與平面 之間的距離為 ,求直線 與平面 所成角的正弦值.
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